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傅里叶红外变换通俗易懂的理答

点击次数:243 发布时间:2021-05-12

   关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解。

   那么,到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?
傅里叶变换(Fourier transform)是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出,所以以其名字来命名以示纪念。
 

 

   傅里叶变换原来就是一种变换而已,只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下,你就知道了,傅里叶就是一种变换,一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。

   ok,咱们再来总体了解下傅里叶变换,让各位对其有个总体大概的印象,也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式,究竟有多复杂:

   首先知识点先排除,什么是正余弦波,首先,直角三角形中,∠C=90°;任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,也就是sinA=a/c。∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边,所以co sA=b/c。

   其中  K(t,u) 就是积分变换的核 (kernel)。这个积分变换的“物理含义”就是, f(t) 在核函数的复共轭这一组正交基上的展开系数。为什么呢?如果大家学过一点线性代数,就可以发现积分变换具有内积的形式。将 u' 看作参数,如果  K(u',t) 和  K(u,t) 正交,则积分变换无非是给出了向量 \vec 在基函数  K^*(t,u)  上投影 / 分量的通式。要注意的是,这里的基函数不是  K(t,u) 而是  K^*(t,u) 。这是因为,内积的结果是一个“数”而不是向量,所以作为向量的两个被乘函数必须有一个要被取复共轭(相当于转置)。以上推理从内积的狄拉克括号表示的角度看很容易理解: (Tf)(u) = \langle K^*|f \rangle  ——左矢括号 \langle | 自带转置效果,要符合原定义则 bra 内必须是 K^* 。

   在以上的讨论中我提到了向量 \vec ,那它与函数 f(t) 又是什么关系呢?不妨想象一下普通空间的三维矢量 \vec\equiv(a,b,c) ,其中的 a,b,c 也无非是向量 \vec 在  \vec,\vec,\vec 基矢上的展开系数。也就是说,我们可以通过写出一个矢量在所有基矢量方向的展开系数以及所有基矢量的方式完全确定一个向量。如果把任何一个函数的自变量的任意一个(或者一组,对于多元函数来说)可能的取值看作一个基矢,函数值看作展开系数,那么,任何函数都可以看作是一个向量的一个具体表示。当然了,如果仔细推导一下,函数 f(x) 的一组正交基实际上是 \delta(x) (狄拉克 \delta  函数)。
 

 

   傅里叶分析不仅仅是一个数学工具,更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是,傅里叶分析的公式看起来太复杂了,所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说,这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程,不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。(您把教材写得好玩一点会死吗?会死吗?)所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析,有可能的话高中生都能看懂的那种。所以,不管读到这里的您从事何种工作,我保证您都能看懂,并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友,也希望不要看到会的地方就急忙往后翻,仔细读一定会有新的发现。

 


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